文章目录
  1. 1. 什么是分治法
  2. 2. 解决问题的流程
  3. 3. 分治法适用情况
  4. 4. 应用问题
    1. 4.1. 归并排序
    2. 4.2. 快速排序
    3. 4.3. 二分搜索
    4. 4.4. 大整数乘法
  5. 5. 总结

什么是分治法

字面上的解释是“分而治之”,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。

解决问题的流程

divide and conquer

分治法适用情况

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:

1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质。

3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;

4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的,因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加;

第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的,此特征反映了递归思想的应用;、

第三条特征是关键,能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征,如果具备了第一条和第二条特征,而不具备第三条特征,则可以考虑用贪心法或动态规划法。

第四条特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然可用分治法,但一般用动态规划法较好。

应用问题

归并排序

可以看到排序问题正好满足以上提到的四个特征。
归并排序通过将待排序数组分为两个部分,递归地处理它们,最终将两个排序好的部分合并起来。
值得一提的是归并排序通过数组的下标分割子问题,即每次都把数组分为两半。

伪代码如下
merge_sort

merge

例子
例子

快速排序

跟归并排序的思想是类似的,但是快速排序是根据值来分割子问题,即把数组根据一个值分为大于和小于它两个部分。

伪代码如下

quick_sort

partition

例子

例子

二分搜索

对一个有序的数组进行二分搜索,每次比较中间的值,key大于它说明在右边,小于说明左边。

伪代码如下

binary_search

例子

例子

大整数乘法

对于任意位数的2个数相乘 $a * b$ ,写成:
$$a = a_{1} * 10^{(n_{1}/2)} + a_{0}$$
$n_{1}$为$a$的位数

$$b = b_{1} * 10^{(n_{2}/2)} + b_{0}$$

$n_{2}$为$b$的位数

分治策略就是基于以上变换,将a,b写成前一半数字和后一半数字相加的形式,例如若$a = 5423678$,那么$a_{1} = 542$ $a_{0} = 3678$(注意若不是偶数截取较小一半)

这样a和b相乘就可以写为:
$$a * b = { a_{1} * 10^{(n_{1}/2)} + a_{0} } * { b_{1} * 10^{(n_{2}/2)} + b_{0} }$$
展开后整理得:
$$a * b = a_{1}*b_{1} * 10^{[(n_{1}+n_{2})/2]} + a_{1}*b_{0} * 10^{(n_{1}/2)} + a_{0}*b_{1} * 10^{(n_{2}/2)} + a_{0}*b_{0}$$
这样就很容易递归的来求$a * b$,如果嫌分解后的数还太大,就可以继续分解。(你可以自己规定在何时结束递归)

总结

分治法实际上就是类似于数学归纳法,找到解决本问题的求解方程公式,然后根据方程公式设计递归程序。

  1. 一定是先找到最小问题规模时的求解方法
  2. 然后考虑随着问题规模增大时的求解方法
  3. 找到求解的递归函数式后(各种规模或因子),设计递归程序即可。

参考资料:

五大常用算法之一:分治算法

大整数乘法和Strassen矩阵乘法

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  1. 1. 什么是分治法
  2. 2. 解决问题的流程
  3. 3. 分治法适用情况
  4. 4. 应用问题
    1. 4.1. 归并排序
    2. 4.2. 快速排序
    3. 4.3. 二分搜索
    4. 4.4. 大整数乘法
  5. 5. 总结